プライムス

大学院生の数学ノート

算術級数の素数定理についてのはなし

素数分布論において重要な結果である算術級数の素数定理について調べていきます。算術級数の素数定理自体はすでに証明されているのですが、等差数列中の素数分布についてより深く調べていくと双子素数予想などとも関係が深いことがわかります。今回は算術級数の素数定理の先のはなしをまとめました。

算術級数の素数定理とその誤差項

等差数列中の素数に関する基本事項を紹介します。
(q,a)=1なる自然数 q,aに対して
\begin{align}
\pi (x;q,a) := \sum_{\substack{p\le x \\ p \equiv a \pmod{q}}}1
\end{align}と定めます。ただし右辺の和は素数 pに渡って走ります。
 \varphi (n)でEulerのトーシェント関数、\mathrm{Li}(x)
\begin{align}
\mathrm{Li} (x)=\int_2^{x}\frac{dt}{\log t}
\end{align}と置きます。算術級数の素数定理とは次のような素数定理の類似です。

定理(算術級数の素数定理)

任意の q,aに対し (q,a)=1ならば

\begin{align}
\pi (x;q,a)=\frac{\mathrm{Li} (x)}{\varphi (x)} (1+o(1)) \quad (x\to \infty )
\end{align}
が成り立つ。

算術級数の素数定理の誤差項 E(x;q,a)

\begin{align}
E(x;q,a):= \pi (x;q,a)-\frac{\mathrm{Li}(x)}{\varphi (q)}
\end{align}
と置きます。上述の定理は (q,a)=1に対し
\begin{align}
E(x;q,a )=o(\mathrm{Li(x)}) \quad (x\to \infty)
\end{align}
となることと書き直せます。
この関数 E(x;q,a)のより鋭い評価をあたえようというのは素数分布論の主題のひとつであって、実際に上述の評価よりもっと鋭い評価が得られています。

定理(Poussinの誤差項)

(q,a)=1に対して

\begin{align}
E(x;q,a) \ll x \; \mathrm{exp} (-c_q \sqrt{\log x})
\end{align}
が成り立つ。ここで c_qqに依存する定数。

さて、ここまでは素数定理と大体同じように話がすすむのですがqに関する誤差項の一様な評価を求めるなら難易度がグッと上がります。
\pi (x;q,a)を調べて分かったことを何か他のことに応用するとき、いくつかの法 qに対する \pi (x;q,a)及び E(x;q,a)を一度に扱わなければならないことがあります。そのような状況で法 qに関して一様な評価が得られているととても便利です。

Siegel-Walfiszの定理とGRH

E(x;q,a)の一様な評価について、qxと比較してある程度小さいときには次のような定理が知られています。

定理(Siegel-Walfiszの定理)

任意の A>0に対してある定数 c_Aが存在して

\begin{align}
E(x;q,a) \ll x\; \mathrm{exp}(-c_A \sqrt{\log x})
\end{align}
q \le (\log x )^{A}, (q,a)=1で一様に成り立つ。

e^xのテイラー展開から簡単に任意の B>0に対して

\begin{align}
\mathrm{exp}(c_A \sqrt{\log x}) \gg_A (\log x)^{A+B} \ge q (\log x)^B
\end{align}
がわかるのでSiegel-Walfiszの定理から任意の A,B>0に対し
\begin{align}
E(x;q,a) \ll_A \frac{x}{q(\log x)^B}
\end{align}が同じ範囲で成立することが言えます。この形で出てくることも多いです。ただ扱える qxと比較してかなり小さいので少々応用が限られるようです。

算術級数の素数定理を証明するためによく知られている方法がDirichletのL関数を用いた方法です。特にL関数の零点分布が非常に重要でSiegel-Walfiszの定理もL関数の零点分布に関するある定理から従います。
L関数の零点分布に対しては大きな未解決予想「一般化されたリーマン予想(GRH)」があります。これはすべてのDirichlet L関数の非自明零点は実部が1/2だろうという予想ですが、この予想から E(x;q,a)に関して次が言えます。

定理(GRH下の誤差項の評価)

GRHを仮定すると

\begin{align}
E(x;q,a) \ll x^{1/2}(\log x)^2
\end{align}
q{<}x, (q,a)=1で一様に成立。

ただしGRH下での上の評価は q\varphi (q) \gg x^{1/2} (\log x)^3を満たすくらい大きければ、\mathrm{Li}(x) \ll x/ \log xと合わせて自明に成り立つことがわかります。したがってGRH下での上記の評価は q\ll x^{1/2}くらいのときに強い評価を与えています。

Brun-Titchmarshの定理

上述の結果はかなり精密な漸近公式について調べていました。Siegel-Walfitzの定理から少し計算をすると q \le (\log x)^Aなら漸近公式
\begin{align}
\pi (x;q,a)=\frac{x}{\varphi (q)\log x}(1+o(1))
\end{align}が成立すると言い換えることができます。これはとても精密な \pi (x;q,a)の評価ですが qの範囲はそれほど広くありません。そこで評価を荒くして \pi (x;q,a)の上界だけに的を絞ることで qの範囲をもっと広くとることを考えてみると次が成立します。

定理(Brun-Titchmarshの定理)

q{<}x, (a,q)=1のとき
\begin{align}
\pi (x;q,a) \le \frac{2x}{\varphi (q)\log (x/q)}
\end{align}が成立。

もちろん qを固定した場合は算術級数の素数定理の方が良い評価をあたえますが、Brun-Titchmarshの定理は多くの法 qを一度に扱えることが特徴です。

平均誤差とBombieri-Vinogradovの定理

GRHがかなり鋭い評価を与えるとは言ったものの、GRHを証明することはまだまだ難しいところ。こういうとき平均値を考えることで応用上は十分な結果を導くことができることがあります。
平均と言ってもいろいろありますが、ここでは単純に誤差項の和に関する性質を考えたいと思います。Q>0は後で定めるとして誤差項の和
\begin{align}
\sum_{q\le Q} \max_{(q,a)=1} |E(x;q,a)|
\end{align}を考えます。GRHを仮定すると先の定理から任意の A>1に対して Q=x^{1/2}(\log x)^{-A-2}と置けば容易に
\begin{align}
\sum_{q\le Q} \max_{(q,a)=1} |E(x;q,a)| \ll \frac{x}{(\log x)^A}
\end{align}
が言えます。じゃあとりあえずGRHを仮定しないでこれが証明できればすごいうれしいのですが、なんとGRH下とほとんど同じ評価が無条件で証明されています。

定理(Bombieri-Vinogradovの定理)

任意の A>0に対してある定数 Bが存在して Q=x^{1/2}(\log x)^{-B}に対して

\begin{align}
\sum_{q\le Q} \max_{(q,a)=1} |E(x;q,a)| \ll \frac{x}{(\log x)^A}
\end{align}
が成立する。

これは本当に驚くべき結果で、応用上GRHを回避することができる可能性を示唆しています。たとえばJames Maynard(2015)によって証明された
\begin{align}
\liminf_{n\to \infty} (p_{n+1}-p_n) \le 600
\end{align}という結果はBombieri-Vinogradovの定理から証明されました。ただし p_nは昇順に並べたときの n番目の素数を表しています。

GRHは個別の q,aに対する E(x;q,a)の評価の一つの目標地点と言えますが、平均誤差に関してはGRHを超えた目標が与えられています。
\theta >0に対して素数が分布レベル Q を持つとは、任意の A >0に対し

\begin{align}
\sum_{q\le Q} \max_{(q,a)=1} |E(x;q,a)| \ll \frac{x}{(\log x)^A}
\end{align}
が成立することを言います。たとえばBombieri-Vinogradovの定理から任意の \varepsilon >0に対して素数が分布レベル Q=x^{1/2-\varepsilon}を持っているといえます。GRHを仮定しても上述の通りこの分布レベルを超えません。分布レベルに関して次が予想されています。

未解決問題(Elliott-Halberstam予想)

任意の \varepsilon>0に対して素数は分布レベル Q=x^{1-\varepsilon}を持つ。

実は素数の分布レベルは Q=x(\log x)^{-B}(B>0は任意の数)にはなりえないことが証明されています。したがってElliott-Halberstam予想は誤差の平均値に関する究極の予想であるといえます。

Montgomeryの予想

最後にMontgomeryの予想を紹介します。

未解決問題(Montgomery予想)

任意の \varepsilon >0に対して
\begin{align}
\pi (x;q,a)=\frac{\mathrm{Li}(x)}{\varphi (q)}+O\Big{(}\frac{x^{1/2+\varepsilon}}{q^{1/2}}\Big{)}
\end{align}が成立。

Montgomery予想を仮定すればElliott-Halberstam予想は容易に導くことができますが、ここまでくるともはや夢のまた夢って感じでしょうか。

おわりに

算術級数の素数定理に関連する話題は現在も活発に研究されています。どれも非常に重要な定理で、様々なところで応用されているのでぜひ勉強してみてください。いずれ各定理の証明を記事にしたいと思います。

参考文献

(1) Multiplicative Number Theory (Graduate Texts in Mathematics 74)

この本は解析的整数論の標準的なテキストです。上述の素数定理や算術級数の素数定理、Siegel-Walfiszの定理、さらにはBombieri-Vinogradovの定理まで全部詰め込んでたったの約170ページというコンパクトにまとまったテキストです。要求される予備知識も学部で学ぶ複素関数論+αのみなので解析数論の入門としておすすめです。

(2) 解析的整数論〈1〉素数分布論 (朝倉数学大系)

この教科書は(1)と比べると発展的な話題が書いてあります。特に篩法の議論を念頭に置いて書かれています。素数分布がメインですが、リーマンゼータ関数の平均値理論やVinogradovの指数和に関する議論などもコンパクトにまとまっています。いろいろ学べる分少し行間が多いと思われます。解析数論2冊目のテキストにおすすめです。

(3) Limitations to the equi-distribution of primes I
論文URL https://www.jstor.org/stable/1971450?origin=crossref&seq=1#metadata_info_tab_contents
こちらはFriedlanderとGranvilleによるElliott-Halberstam予想の端点での反証を行った論文です。気になった方はぜひ読んでみてください。

(4) Levels of distribution and the affine sieve
論文URL [1406.1375] Levels of Distribution and the Affine Sieve
こちらは算術級数の素数定理に関するsurvey論文です。この記事もこちらの論文を参考に書きました。