プライムス

大学院生の数学ノート

J. Pintz : A note on the distribution of primes in short intervals

タイトルの論文を読んでいきます。
素数定理の誤差項の平均値に関する結果です。

背景

von Mangoldt関数 \Lambda (n)に対し
\begin{align}
\psi (x)=\sum_{n \le x}\Lambda (n)
\end{align}とします。この関数は素数分布論において非常に重要で、たとえば素数定理は \psi (x) \sim xと同値です。しかし素数の個数を直接扱うよりも \psi(x)を扱う方が簡単なことが多いため素数分布に関する話は \psi (x)の言葉で書かれることが多いです。\psi (x)の言葉で素数定理をおさらいします。

定理(素数定理)

\begin{align}
\psi (x) = x +o(x) \quad (x\to \infty )
\end{align}

\Delta (x)=\psi (x)-x素数定理の誤差項と呼びます。素数定理は \Delta (x) =o(x)を表しています。素数定理の誤差項は素数分布論における重要な研究対象の一つで、次の定理がその重要性を物語っていると思われます。

定理

リーマンゼータ関数に対するリーマン予想が成り立つことと
\begin{align}
\Delta (x) =O(x^{1/2}(\log x)^2)
\end{align}が成り立つことは同値である。

まぁでもやっぱり \Delta (x)を各点 xでの振る舞いを調べるのは相当難しい。そこで \Delta (x)の平均値を考えよう!となります。関数 E(x),D(x)をそれぞれ
\begin{align}
&E(x) = \frac{1}{x}\int_1^{\infty} \Delta (t) dt \\
&D(x)= \frac{1}{x}\int_1^{\infty} |\Delta (t) | dt
\end{align}と置きます。このとき次が知られています。

定理

リーマン予想を仮定すると\begin{align}
E(x),D(x)=O(\sqrt{x})
\end{align}が成り立つ。

平均的には先のリーマン予想下の評価よりも良い結果が得られています。

D(x)についてはPintzによって無条件で
\begin{align}
D(x) {>} \frac{\sqrt{x}}{22000} \quad (x {>}2)
\end{align}というおもしろい結果も得られていて、上記の D(x)の評価を合わせればリーマン予想下では D(x)の増大度はほぼ決定したと言えるでしょう。

主定理

もうすこし視点を変えて短区間における平均値を考えてみます。つまり
\begin{align}
D\Big{(} \frac{x}{H},x\Big{)}=\frac{1}{(x/H)}\int_{x-x/H}^x |\Delta (t)| dt \quad \end{align}を考えてみます。Hxに近づくほど \Delta (x)の一点での値に近づいていくと考えられ、もしリーマン予想を仮定するなら先の評価によって
\begin{align}
\int_{x-1}^x |\Delta (t)|dt =O(x^{1/2}(\log x)^2)
\end{align}が成り立つことになります。
表題の論文における主定理は上記 D(x)の評価の一般化にあたる次の定理です。

主定理

リーマン予想を仮定すると
\begin{align}
\frac{1}{(x/H)}\int_{x-x/H}^x|\Delta (t)|^2 dt \ll x (\log (H+1))^4
\end{align}が成り立つ。さらにこれより1 \le H \le xに対して
\begin{align}
D\Big{(}x-\frac{x}{H},x\Big{)} \ll \sqrt{x}(\log (H+1))^2
\end{align}が成り立つ

主定理の証明

主定理の証明をしていきます。主定理の後半部分は前半部分の系として示されるので、ここでは主定理の前半部分の証明を見ていきましょう。議論の過程でリーマンゼータ関数の零点分布に関するいくつかの結果を認めて使いますので以下に補題としてまとめておきます。
以下、リーマンゼータ関数の非自明零点を \rho=\beta +i\gammaと表します。

補題1

x\ge 1で\begin{align}
\sum_{0 {<} \gamma {<}x} \frac{1}{\gamma} \ll (\log x)^2 ,\quad
\sum_{0 {<} \gamma {<}x} \frac{1}{\gamma^2} \ll1
\end{align}が成り立つ。ここで和はリーマンゼータ関数の非自明零点に渡る。

補題2

H\ge 1
\begin{align}
\sum_{\gamma {>}H}\frac{1}{\gamma^2} \ll \frac{\log (H+1)}{H}
\end{align}\begin{align}
\sum_{\gamma {>}H}\frac{\log \gamma }{\gamma^2}\ll \frac{(\log(H+1))^2}{H}
\end{align} が成り立つ。

次の補題に限りでは \gammaは任意の実数を表しているとします(主定理の証明の中ではリーマンゼータ関数の非自明零点の虚部として用いますが)。

補題3

\gamma \ge 3,H\ge 1で\begin{align}
\sum_{\gamma {<} \gamma' \le \gamma +H}\frac{1}{\gamma'} \ll \frac{H\log \gamma}{\gamma}
\end{align}がなりたつ。

これらの補題はすべて同じ手法で示すことができるので、後ほどおまけで証明を与えたいと思います。詳しくは参考文献を読んでみてください。
では主定理の証明を見ていきます。

主定理の証明 リーマン予想を仮定しているのでリーマンゼータ関数の零点は \rho =1/2+i\gamma \; (\gamma \in \mathbb{R})とかける。
明示公式とリーマンゼータ関数の零点が実軸対称に分布していることより
\begin{align}
\Delta (t) =-\sum_{0 {<} \gamma {<}x }\Big{(}\frac{t^{\rho}}{\rho}+\frac{t^{\bar{\rho}}}{\bar{\rho}}\Big{)}+O({(}\log x)^2{)} \label{1}
\end{align}が t\le xで成立する。ここで和はリーマンゼータ関数の非自明零点に渡って走る。\eqref{1}の2乗を計算すれば補題1より
\begin{align}
\Delta (x)^2=\sum_{0 {<} \gamma ,\gamma' {<}x}\frac{t^{1+i(\gamma -\gamma')}}{\rho \bar{\rho'}} +O(\sqrt{x} (\log x)^4) \label{2}
\end{align}と計算できる。
主定理の前半の積分は\eqref{2}を代入すれば
\begin{align}
\frac{1}{(x/H)}\int_{x-x/H}^x |\Delta (t)|^2 dt =S(x,H) +O(\sqrt{x}(\log x)^4)
\end{align}となる。ここで
\begin{align}
S(x,H)=\frac{1}{(x/H)}\sum_{0{<}\gamma ,\gamma' {<}x}\frac{1}{\rho \bar{\rho'}} \int_{x-x/H}^x t^{1+i(\gamma -\gamma' )}dt
\end{align}と置いた。S(x,H)の積分の部分は \gamma \neq \gamma'なら
\begin{align}
\frac{1}{2+i(\gamma -\gamma')}\Big{(}x^{2+i(\gamma -\gamma')}-\Big{(}x-\frac{x}{H}\Big{)}^{2+i(\gamma -\gamma')}\Big{)} \notag
\end{align}\begin{align}
\ll \frac{x^2}{H|2+i(\gamma -\gamma')|}
\ll \min\Big\{{} \frac{x^2}{H}, \frac{x^2}{|\gamma -\gamma'|}\Big{\}}
\end{align}と計算できる*1\gamma =\gamma'となる部分の影響は O(x)程度なので主張の評価を示すためには
\begin{align}
\frac{1}{(x/H)}\sum_{0 {<} \gamma \neq \gamma' {<}x}\frac{1}{\gamma \gamma'}\min\Big\{{} \frac{x^2}{H}, \frac{x^2}{|\gamma -\gamma'|}\Big{\}} \ll x(\log (H+1))^4
\end{align}示せばよい。これは整理すると
\begin{align}
\sum_{0 {<} \gamma \neq \gamma' {<}x}\frac{1}{\gamma \gamma'}\min\Big\{{} 1, \frac{H}{|\gamma -\gamma'|}\Big{\}} \ll (\log (H+1))^4
\end{align}となるが、和を\gamma < \gamma '\gamma >\gamma'の二つに分けるとどちらも同様に評価できる。したがって主定理の主張は
\begin{align}
\sum_{0{<} \gamma {<} \gamma' {<} x}\frac{1}{\gamma \gamma'}\min\Big\{{} 1, \frac{H}{\gamma' -\gamma}\Big{\}} \ll (\log (H+1))^4 \label{3}
\end{align}に帰着される。\eqref{3}を証明するために和を次の五つに分けて考える。ただし \gamma , \gamma'x未満であるという条件は省略する。

  1. 0{<}\gamma \le Hかつ \gamma {<} \gamma' \le \gamma +H
  2. 0{<}\gamma \le Hかつ \gamma +H {<}\gamma '
  3. H{<}\gamma かつ  \gamma {<} \gamma' \le \gamma +H
  4. H{<}\gamma かつ \gamma +H{<}\gamma' \le 2\gamma
  5. H {<}\gamma かつ2\gamma {<}\gamma'

(場合分け1の評価) 場合分け1のとき
\begin{align}
\min\Big\{{} 1, \frac{H}{\gamma' -\gamma}\Big{\}}=1
\end{align}であるから、\eqref{3}の和の場合分け1の部分は補題1より
\begin{align}
=\sum_{0 {<}\gamma \le H} \frac{1}{\gamma} \sum_{\gamma {<} \gamma ' \le \gamma +H}\frac{1}{\gamma'} \le \Big{(}\sum_{0 {<}\gamma \le 2H}\frac{1}{\gamma}\Big{)}^2 \ll (\log (H+1))^4
\end{align}と評価できる。*2

(場合分け2の評価) 場合分け2のとき条件より
\begin{align}
\gamma' -\gamma {>}H \ge \gamma
\end{align}であるから \gamma {<} \gamma' /2となる。このとき
\begin{align}
\min\Big\{{} 1, \frac{H}{\gamma' -\gamma}\Big{\}}=\frac{H}{\gamma'- \gamma }\le \frac{H}{(\gamma'/2)}
\end{align}であるから\eqref{3}の和の場合分け2の部分は補題2より
\begin{align}
\ll \sum_{0 {<} \gamma \le H} \frac{1}{\gamma} \sum_{\gamma ' {>}H}\frac{H}{(\gamma'^2/2)} \ll (\log (H+1))^3
\end{align} となる。

(場合分け3の評価) 場合分け3の条件より
\begin{align}
\min\Big\{{} 1, \frac{H}{\gamma' -\gamma}\Big{\}}=1
\end{align}であるから\eqref{3}の和の場合分け3の部分は補題2と補題3より
\begin{align}
\sum_{\gamma >H}\frac{1}{\gamma} \sum_{\gamma {<} \gamma' \le \gamma +H}\frac{1}{\gamma'} \ll \sum_{\gamma {>}H} \frac{H\log \gamma}{\gamma^2} \ll (\log (H+1))^2
\end{align}となる。

(場合分け4の評価) 場合分け4の条件より
\begin{align}
\min\Big\{{} 1, \frac{H}{\gamma' -\gamma}\Big{\}}=\frac{H}{\gamma' -\gamma}
\end{align}である。したがって\eqref{3}の和の場合分け4の部分は
\begin{align}
&\sum_{\gamma {>}H}\frac{1}{\gamma} \sum_{ \gamma +H {<} \gamma' \le 2\gamma} \frac{H}{\gamma' (\gamma' -\gamma)}\notag \\
&\ll \sum_{\gamma {>}H} \sum_{1 \le n \le [\gamma /H]}\frac{H\log \gamma}{nH} \ll (\log (H+1))^3
\end{align}となる。*3

(場合分け5の評価) 場合分け5の条件より \gamma {<} \gamma'/2であるから
\begin{align}
\min\Big\{{} 1, \frac{H}{\gamma' -\gamma}\Big{\}}=\frac{H}{\gamma' -\gamma} \le \frac{H}{(\gamma'/2)}
\end{align}となる。したがって\eqref{3}の和の場合分け5の部分は補題2より
\begin{align}
\ll \sum_{\gamma >H}\frac{1}{\gamma} \sum_{\gamma' >2\gamma} \frac{H}{(\gamma'^2/2)} \ll \sum_{\gamma >H} \frac{H\log \gamma}{\gamma ^2} \ll (\log (H+1))^2
\end{align}となる。

以上より\eqref{3}が示され、主定理が証明できた。(QED)


おまけ

主定理の証明の途中でリーマンゼータ関数の零点の虚部 \gammaに渡る様々な和が出てきました。これらの評価はすべて次の定理から導出することができます。

定理

リーマンゼータ関数の非自明零点のうち虚部 \gamma0 {<}\gamma \le Tを満たすものの個数を N(T)で表す。この時
\begin{align}
N(T)=\frac{T}{2\pi }\log T+O(T) \quad (T\ge 2)
\end{align}が成り立つ。

この定理(もしくはもう少し精密なバージョン)とAbelの総和法を使って上に出てきた和に関する評価がすべて証明できます。この定理自体の証明は参考書に譲るとして、主定理の証明で用いた和の評価の証明をしてみたいと思います。どれもほとんど同じ方法で証明できるので一個だけピックアップして示します。

補題

\begin{align}
\sum_{\gamma {<} \gamma' \le \gamma +H}\frac{1}{\gamma'} \ll \frac{H\log \gamma}{\gamma} \quad (\gamma \ge 3 ,H\ge 1)
\end{align}

補題の証明 Abelの総和法を用いれば
\begin{align}
\sum_{\gamma {<} \gamma' \le \gamma +H}\frac{1}{\gamma'}
=\frac{N(\gamma +H)}{\gamma +H}-\frac{N(\gamma )}{\gamma}+\int_{\gamma}^{\gamma +H} \frac{N(t)}{t^2}dt
\end{align}となる。ここで右辺最初の二項は上記の定理を用いれば
\begin{align}
\frac{1}{2\pi}\log (\gamma +H) - \frac{1}{2\pi}\log \gamma +O(1) \ll \log \Big{(}1+\frac{H}{\gamma} \Big{)} \le \frac{H}{\gamma}
\end{align}と評価できる。したがって最後の積分項が (H\log \gamma )/\gammaて抑えられれば良い。定理よりN(T) \ll T\log Tであり、(\log t)/tt\ge 3で単調減少であることに注意すれば積分項は
\begin{align}
\ll \int_{\gamma}^{\gamma +H} \frac{\log t}{t}dt \le \frac{H \log \gamma}{\gamma}
\end{align}となるので補題が示された。(QED)

ちなみに主定理の証明の中でこの補題をリーマンゼータ関数の非自明零点の虚部 \gammaに対して用いていますが、虚部が正の非自明零点で虚部が最も小さいものは \gamma =14.13...であることが知られていますので問題なく適用できます。

証明していない和の評価もこの補題の証明とほとんど同様に示せるので挑戦してみてください。

おわりに

素数定理の誤差項の話でした!明示公式が上手に使われていて面白かったです。場合分けが大変ですが、平均値にすると突然(各点の議論と比べて)やさしくなりますね。二点ほど証明の穴を埋められない部分があったのでいずれ考えるかもしれないし、考えないかもしれません。

参考文献

(1) リーマンのゼータ関数(開かれた数学)

明示公式やおまけで出てきた定理の証明などはこの本にすべて書いてあります。話題はリーマンゼータ関数に限られていますが、その分かなり深くまでゼータ関数の理論に入り込むことができるテキストです。複素関数論をそれなりに知っていれば読めるのでぜひ読んでみてください。

(2) 素数とゼータ関数(共立講座 数学の輝き)

(1)と同じくゼータ関数のテキストで、こちらでも明示公式などの証明を読むことができます。この本は(1)と比べて初等的な素数分布論の話に紙面を使っていることが特徴です。またこちらでは算術級数の素数定理やDirichletのL関数についても学ぶことができます。難易度は(1)より少し簡単で例示が豊富なので、複素関数論を学んでこれから解析数論をやろうという初学者の方にもおすすめです。

(3) A note on the distribution of primes in short intervals
論文URL : https://link.springer.com/article/10.1007/BF01950287
タイトルの論文です。

*1:1個目の評価が理解できていない。一般化された二項定理一般化二項定理とルートなどの近似 | 高校数学の美しい物語が使えそうだけど展開して残った項の評価ができない...

*2:注意として H+1にしてあるのは \log1=0を避けるためである。

*3:場合分け4の評価がよくわからない。昇順にならべたリーマンゼータ関数の非自明零点の虚部 \gamma_nに対して \gamma_n\sim (2\pi n)/\log nとなることとかを使うのかな...。